यदि I = intlimits_0^{frac{pi}{2}} ln(sin x) d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) माना $I_1 = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x + \cos x) dx$ है। गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग क

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{I}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I_1 = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x + \cos x) dx$ है। गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I_1 = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - x) + \cos(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - x)) dx = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin(-x) + \cos(-x)) dx = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos x - \sin x) dx$ प्राप्त होता है। $I_1$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I_1 = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\ln(\sin x + \cos x) + \ln(\cos x - \sin x)) dx = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos^2 x - \sin^2 x) dx = \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos 2x) dx$। चूँकि $\ln(\cos 2x)$ एक सम फलन है,इसलिए $2I_1 = 2 \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos 2x) dx$। माना $2x = t$,तब $2dx = dt$। जब $x=0, t=0$; जब $x=\frac{\pi}{4}, t=\frac{\pi}{2}$। $I_1 = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos t) \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) dt = \frac{I}{2}$।

यदि $I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) dx$ है,तो $\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x + \cos x) dx =$

Similar Questions

$\sum \limits_{n=0}^{1947} \frac{1}{2^n+\sqrt{2^{1947}}}$ का मान किसके बराबर है?

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sum_{n=0}^4 \left(\frac{n \pi}{4}+x\right)}{\cos x+\sin x} d x=$

$\int_0^{\pi /2} {\log \left( {\frac{{4 + 3\sin x}}{{4 + 3\cos x}}} \right)} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $I_1 = \int_0^{3 \pi} f(\cos^2 x) dx$ और $I_2 = \int_0^\pi f(\cos^2 x) dx$ है,तो

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module