यदि 2 int_0^1 tan^{-1} x , dx = int_0^1 cot^{ | vedclass

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Question

(B) हमें दिया गया है कि $2 \int_{0}^{1} 	an^{-1} x \, dx = \int_{0}^{1} \cot^{-1} (1 - x + x^2) \, dx$। गुणधर्म $\cot^{-1} u = \frac{\pi}{2} - 	an^{

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$\log 2$

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(B) हमें दिया गया है कि $2 \int_{0}^{1} 	an^{-1} x \, dx = \int_{0}^{1} \cot^{-1} (1 - x + x^2) \, dx$। गुणधर्म $\cot^{-1} u = \frac{\pi}{2} - 	an^{-1} u$ का उपयोग करने पर: $2 \int_{0}^{1} 	an^{-1} x \, dx = \int_{0}^{1} \left( \frac{\pi}{2} - 	an^{-1} (1 - x + x^2) ight) dx$। $2 \int_{0}^{1} 	an^{-1} x \, dx = \frac{\pi}{2} - \int_{0}^{1} 	an^{-1} (1 - x + x^2) \, dx$। पदों को व्यवस्थित करने पर: $\int_{0}^{1} 	an^{-1} (1 - x + x^2) \, dx = \frac{\pi}{2} - 2 \int_{0}^{1} 	an^{-1} x \, dx$। अब,$I = \int_{0}^{1} 	an^{-1} x \, dx$ का मान खंडशः समाकलन (integration by parts) द्वारा ज्ञात करते हैं: $I = [x 	an^{-1} x]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} [\ln(1+x^2)]_0^1 = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$। इस मान को समीकरण में रखने पर: $\int_{0}^{1} 	an^{-1} (1 - x + x^2) \, dx = \frac{\pi}{2} - 2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2 ight) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + \ln 2 = \ln 2$।

यदि $2 \int_0^1 \tan^{-1} x \, dx = \int_0^1 \cot^{-1} (1 - x + x^2) \, dx$ है,तो $\int_0^1 \tan^{-1} (1 - x + x^2) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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