Divide the polynomial  $3 x^{4}-4 x^{3}-3 x-1$ by $x-1$.

By long division, we have :

$\overset{3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-4}{\mathop{\begin{align}
  & x-1\sqrt{\begin{align}
  & 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-3x-1 \\ 
 & 3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}} \\ 
\end{align}} \\ 
 & \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ 
\end{align}}}\,$

             $-{{x}^{3}}-3x-1$

             $\mp \,\,{{x}^{3}}\,\,\pm \,\,\,{{x}^{2}}$

          $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

              $-x^{2}-3 x-1$

              $\mp \,{{x}^{2}}\pm \,\,x$

           $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

              $-4 x-1$

              $\mp \,\,4x\pm 1$

              $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

                       $-5$

Here, the remainder is $-5 .$ Now, the zero of $x-1$ is $1 .$ So, putting $x=1$ in $p(x),$ we see that

$p(1)=3(1)^{4}-4(1)^{3}-3(1)-1$

$=3-4-3-1$

$=-\,5,$ which is the remainder.