समीकरण int_1^e frac{(log_e x)^{1/2}}{x(a-(log | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_1^e \frac{(\log_e x)^{1/2}}{x(a-(\log_e x)^{3/2})^2} dx = 1$ है। $t = a - (\log_e x)^{3/2}$ प्रतिस्थापित करें। तब $dt = -\frac{3}{2

Vedclass · Accepted Answer

$C, D$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_1^e \frac{(\log_e x)^{1/2}}{x(a-(\log_e x)^{3/2})^2} dx = 1$ है। $t = a - (\log_e x)^{3/2}$ प्रतिस्थापित करें। तब $dt = -\frac{3}{2}(\log_e x)^{1/2} \cdot \frac{1}{x} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{(\log_e x)^{1/2}}{x} dx = -\frac{2}{3} dt$ है। जब $x = 1$,तो $t = a - 0 = a$ है। जब $x = e$,तो $t = a - 1$ है। समाकल में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_a^{a-1} \frac{-2/3}{t^2} dt = \frac{2}{3} \int_{a-1}^a t^{-2} dt = \frac{2}{3} [-\frac{1}{t}]_{a-1}^a = \frac{2}{3} (\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a}) = \frac{2}{3} (\frac{a - (a-1)}{a(a-1)}) = \frac{2}{3a(a-1)}$। दिया गया है कि $I = 1$,इसलिए $\frac{2}{3a(a-1)} = 1$,जिसका अर्थ है $3a^2 - 3a - 2 = 0$। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$a = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(3)(-2)}}{2(3)} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{6}$। चूंकि $\sqrt{33} \approx 5.74$,इसलिए $a_1 = \frac{3 + 5.74}{6} \approx 1.45$ और $a_2 = \frac{3 - 5.74}{6} \approx -0.45$ है। दोनों मान $a \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ को संतुष्ट करते हैं। चूंकि दोनों मान अपरिमेय हैं,इसलिए कथन $C$ सत्य है। चूंकि दो मान हैं,इसलिए कथन $D$ सत्य है।

समीकरण $\int_1^e \frac{(\log_e x)^{1/2}}{x(a-(\log_e x)^{3/2})^2} dx = 1$ पर विचार करें,जहाँ $a \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?

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यदि $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{15 x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}+\sqrt{(1+x^{2})^{3}}}} dx = \alpha \sqrt{2} + \beta \sqrt{3}$,जहाँ $\alpha, \beta$ पूर्णांक हैं,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int_a^b x^3 dx = 0$ और $\int_a^b x^2 dx = \frac{2}{3}$ है,तो

$\int_0^\infty {\frac{{x\,dx}}{{(1 + x)(1 + {x^2})}}} = $

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