m ના મૂલ્યોનો સંપૂર્ણ ગણ શોધો જેના માટે વિધેય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે કે $f(x) = e^{\sin x} + 2m\sin x + 1$. $f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે $f'(x) > 0$ દરેક $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ માટે હોવું

Vedclass · Accepted Answer

$\left[ -\frac{1}{2}, \infty \right)$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે $f(x) = e^{\sin x} + 2m\sin x + 1$. $f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે $f'(x) > 0$ દરેક $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ માટે હોવું જોઈએ. $f'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x} + 2m \cos x = \cos x (e^{\sin x} + 2m)$. અહીં $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ હોવાથી,$\cos x > 0$ થાય. તેથી,આપણે $e^{\sin x} + 2m > 0$ દરેક $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ માટે મેળવવું પડે. આનો અર્થ એ છે કે $2m > -e^{\sin x}$,અથવા $m > -\frac{e^{\sin x}}{2}$. જેમ $x$ એ $0$ થી $\frac{\pi}{2}$ સુધી બદલાય છે,તેમ $\sin x$ એ $0$ થી $1$ સુધી બદલાય છે. તેથી,$e^{\sin x}$ એ $e^0 = 1$ થી $e^1 = e$ સુધી બદલાય છે. આમ,$-\frac{e^{\sin x}}{2}$ એ $-\frac{1}{2}$ થી $-\frac{e}{2}$ સુધી બદલાય છે. અસમતા $m > -\frac{e^{\sin x}}{2}$ દરેક $x$ માટે સાચી રહે તે માટે,$m$ એ $-\frac{e^{\sin x}}{2}$ ના સુપ્રીમમ (મહત્તમ સીમા) કરતા મોટું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ. $-\frac{e^{\sin x}}{2}$ નું સુપ્રીમમ $-\frac{1}{2}$ છે. તેથી,$m \ge -\frac{1}{2}$,એટલે કે $\left[ -\frac{1}{2}, \infty \right)$.

$m$ ના મૂલ્યોનો સંપૂર્ણ ગણ શોધો જેના માટે વિધેય $f(x) = e^{\sin x} + 2m\sin x + 1$ એ દરેક $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ માટે વધતું વિધેય હોય.

Similar Questions

વિધેય $f(x) = \log x - \frac{2x}{2 + x}$ કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે?

સૌથી લાંબા અંતરાલની લંબાઈ,જેમાં વિધેય $f(x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$ વધતું વિધેય છે,તે શોધો.

જો $f(x) = x^5 - 20x^3 + 240x$ હોય,તો $f(x)$ નીચેનામાંથી કઈ શરતનું પાલન કરે છે?

ધારો કે $f(x) = \int_{x^2}^{x^2+1} e^{-t^2} dt$,$x \in (-\infty, \infty)$ માટે. કયા અંતરાલ માટે $f(x)$ વધતું વિધેય છે?

ધારો કે $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}$,$x \in R$,જ્યાં $a, b$ અને $d$ શૂન્યતર વાસ્તવિક અચળાંકો છે. તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module