સદિશો $2i + j + k$ અને $i - j + k$ ના સમતલમાં હોય અને $5i + 2j + 6k$ ને લંબ હોય તેવો એકમ સદિશ કયો છે?

જો $\vec{a}=\hat{i}+(\tan \theta) \hat{j}+\left(\frac{3}{\sqrt{\sin \frac{\theta}{2}}}\right) \hat{k}$ અને $\vec{b}=\tan \theta(\hat{j}-\hat{i})-\left(2 \sqrt{\sin \frac{\theta}{2}}\right) \hat{k}$ લંબ સદિશો હોય અને $\vec{c}=(\sin 2 \theta) \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$ એ $X$-અક્ષ સાથે ગુરુકોણ બનાવતો હોય,તો $\theta=$

યામ સમતલો અને સમતલો $\pi_1, \pi_2, \pi_3$ જે અનુક્રમે $YZ, ZX, XY$ સમતલોને સમાંતર $a, b, c$ અંતરે આવેલા છે,તે એક લંબઘન બનાવે છે. $d_1$ એ $XY$-સમતલ પરના ફલકનો વિકર્ણ છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો નથી અને $d_2$ એ સમતલ $\pi_2$ નો વિકર્ણ છે જે $d_1$ સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે. જો લંબઘનના શિરોબિંદુઓના કોઈ પણ યામ ઋણ ન હોય અને $d_1$ તથા $d_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો $\cos \theta=$

$p > 0$ માટે,સદિશ $\vec{v}_{2} = 2 \hat{i} + (p + 1) \hat{j}$ એ સદિશ $\vec{v}_{1} = \sqrt{3} p \hat{i} + \hat{j}$ ને ઉગમબિંદુની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $\theta$ ખૂણે ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે. જો $\tan \theta = \frac{(\alpha \sqrt{3} - 2)}{4 \sqrt{3} + 3}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત $....$ છે.

જો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ હોય,તો $\vec{b}$ ના શક્ય સદિશોની સંખ્યા શોધો જેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ થાય,જ્યાં $(x, y, z) \in \mathbb{N}$.

જો $a = i - j$ અને $b = i + k$ હોય,તો $a$ અને $b$ સાથે સમતલીય અને $a$ ને લંબ એકમ સદિશ કયો છે?