એક વિધેય y = f(x) એ x = frac{1}{1 + t^2} અને | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $x = \frac{1}{1+t^2}$ અને $y = \frac{1}{t(1+t^2)}$.$t > 0$ હોવાથી,$1+t^2 > 1$,તેથી $0 < x < 1$.આપણને મળે $1+t^2 = \frac{1}{x}$,જે સૂચવે છે

Vedclass · Accepted Answer

$(0, 1)$ માં વધતું છે

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $x = \frac{1}{1+t^2}$ અને $y = \frac{1}{t(1+t^2)}$.$t > 0$ હોવાથી,$1+t^2 > 1$,તેથી $0 આપણને મળે $1+t^2 = \frac{1}{x}$,જે સૂચવે છે કે $t^2 = \frac{1-x}{x}$.વળી,$y = \frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} \cdot x$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y^2 = \frac{x^2}{t^2} = \frac{x^2}{(1-x)/x} = \frac{x^3}{1-x}$.$t > 0$ હોવાથી,$y > 0$,તેથી $y = \sqrt{\frac{x^3}{1-x}}$.$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^3}{1-x}}} \cdot \frac{(1-x)(3x^2) - x^3(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{2y} \cdot \frac{3x^2 - 3x^3 + x^3}{(1-x)^2} = \frac{3x^2 - 2x^3}{2y(1-x)^2}$.$f$ વધતું વિધેય હોય તે માટે,$\frac{dy}{dx} > 0$.$y > 0$ અને $(1-x)^2 > 0$ હોવાથી,આપણે $3x^2 - 2x^3 > 0$ ની જરૂર છે.$x^2(3 - 2x) > 0$.$x \in (0, 1)$ માટે $x^2 > 0$ હોવાથી,આપણે $3 - 2x > 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે $x $x$ એ $(0, 1)$ માં મર્યાદિત હોવાથી,વિધેય તમામ $x \in (0, 1)$ માટે વધતું છે.

એક વિધેય $y = f(x)$ એ $x = \frac{1}{1 + t^2}$ અને $y = \frac{1}{t(1 + t^2)}$ દ્વારા તમામ $t > 0$ માટે આપેલ છે,તો $f$ એ:

Similar Questions

$f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}, x \neq 0$ એ કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે?

વિધેય $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 3 \cos x}{2 \sin x + 6 \cos x}$ એ એકવિધ વધતું વિધેય હોય,તો :

જે અંતરાલમાં વિધેય $f(x) = \frac{\log(7+x)}{\log(3+x)}$ $(x > 0)$ ઘટે છે તે અંતરાલ કયો છે?

સાબિત કરો કે વિધેય $f(x) = \sin x$ એ અંતરાલ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

જો $f(x) = x^{3/2}(3x - 10)$,$x \geq 0$ હોય,તો $f(x)$ કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module