એક બ્લોકને આડા પાટિયા પર મૂકવામાં આવ્યો છે. પાટિયું $40 \, cm$ ના કંપનવિસ્તાર સાથે શિરોલંબ રેખા પર $SHM$ કરી રહ્યું છે. જ્યારે પાટિયું ક્ષણિક સ્થિર હોય ત્યારે બ્લોક પાટિયા સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે છે. તો:

એક નાનો બ્લોક $4.9 \ m$ ની અખિંચાયેલી લંબાઈ ધરાવતી દળરહિત સ્પ્રિંગના એક છેડે જોડાયેલ છે. સ્પ્રિંગનો બીજો છેડો $O$ પર જડિત છે. આ તંત્ર સમક્ષિતિજ ઘર્ષણરહિત સપાટી પર રહેલું છે. બ્લોકને $0.2 \ m$ ખેંચીને $t = 0$ સમયે સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. તે $\omega = \frac{\pi}{3} \ rad/s$ ની કોણીય આવૃત્તિ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. તે જ સમયે $t = 0$ પર,એક નાનો પથ્થર આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $P$ બિંદુથી $45^{\circ}$ ના ખૂણે $v$ ઝડપથી ફેંકવામાં આવે છે. બિંદુ $P$ એ $O$ થી $10 \ m$ ના સમક્ષિતિજ અંતરે છે. જો પથ્થર $t = 1 \ s$ પર બ્લોકને અથડાય,તો $v$ નું મૂલ્ય શોધો ($g = 10 \ m/s^2$ લો):

બે કણો,$1$ અને $2$,દરેકનું દળ $m$ છે,જે એક દળરહિત સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા છે અને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક સમક્ષિતિજ ઘર્ષણરહિત સપાટી પર છે. શરૂઆતમાં,બંને કણો,જેમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_0$ પર છે,તે $a$ કંપવિસ્તાર અને $\omega$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે. તેથી,સમય $t$ પર તેમના સ્થાન $x_1(t) = (x_0 + d) + a \sin \omega t$ અને $x_2(t) = (x_0 - d) - a \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d > 2a$. $m$ દળનો કણ $3$,$u_0 = a \omega / 2$ ઝડપ સાથે આ તંત્ર તરફ ગતિ કરે છે અને સમય $t_0$ પર કણ $2$ સાથે ત્વરિત સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ અનુભવે છે. અંતે,કણો $1$ અને $2$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઝડપ $v_{cm}$ પ્રાપ્ત કરે છે અને સમાન કોણીય આવૃત્તિ સાથે $b$ કંપવિસ્તારથી દોલન કરે છે.
$(1)$ જો અથડામણ સમય $t_0 = 0$ પર થાય,તો $v_{cm} / (a \omega)$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
$(2)$ જો અથડામણ સમય $t_0 = \pi / (2 \omega)$ પર થાય,તો $4b^2 / a^2$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?

એક વર્ટિકલ સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ નાના દોલનો કરતા સાદા લોલક જેટલો જ છે. હવે, આ બંનેને $a = 5 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ જતી લિફ્ટમાં મૂકવામાં આવે છે. સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રના આવર્તકાળ અને લોલકના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર કેટલો થશે? (ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$ લો)

બે સમાન દડા $A$ અને $B$,દરેકનું દળ $0.1 \ kg$ છે,જે બે સમાન દળરહિત સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા છે. સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ વર્તુળાકારમાં વળેલ પાઇપની અંદર ગતિ કરવા માટે મર્યાદિત કરવામાં આવ્યું છે. પાઇપ સમક્ષિતિજ સમતલમાં સ્થિર છે. દડાઓના કેન્દ્રો $0.06 \ m$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરી શકે છે. દરેક સ્પ્રિંગની કુદરતી લંબાઈ $0.06\pi \ m$ અને બળ અચળાંક $0.1 \ N/m$ છે. શરૂઆતમાં,બંને દડાઓને વર્તુળના વ્યાસ $PQ$ ની સાપેક્ષે $\theta = \pi/6$ રેડિયનના ખૂણે સ્થાનાંતરિત કરીને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. દડા $B$ ના દોલનની આવૃત્તિ કેટલી હશે?

$SHM$ કણના મહત્તમ પ્રવેગ અને મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર મેળવો.