P અને Q એ C કેન્દ્ર અને alpha ત્રિજ્યા ધરાવતા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) $	riangle CPQ$ માં,$CP = CQ = \alpha$ અને $\angle PCQ = 2	heta$. પાયા $PQ$ ની લંબાઈ $PQ = 2\alpha \sin 	heta$ છે.$	riangle CPQ$ નું ક્ષેત્રફળ

Vedclass · Accepted Answer

$\sin 	heta = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

Vedclass · Answer

(B) $	riangle CPQ$ માં,$CP = CQ = \alpha$ અને $\angle PCQ = 2	heta$. પાયા $PQ$ ની લંબાઈ $PQ = 2\alpha \sin 	heta$ છે.$	riangle CPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \alpha^2 \sin 2	heta$ છે.અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{CP + CQ + PQ}{2} = \frac{\alpha + \alpha + 2\alpha \sin 	heta}{2} = \alpha(1 + \sin 	heta)$ છે.અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\frac{1}{2} \alpha^2 \sin 2	heta}{\alpha(1 + \sin 	heta)} = \frac{\alpha}{2} \cdot \frac{2 \sin 	heta \cos 	heta}{1 + \sin 	heta} = \alpha \cdot \frac{\sin 	heta \cos 	heta}{1 + \sin 	heta}$ છે.$r$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $f(	heta) = \frac{\sin 	heta \cos 	heta}{1 + \sin 	heta}$ ને મહત્તમ કરીએ.ધારો કે $x = \sin 	heta$. તો $\cos 	heta = \sqrt{1 - x^2}$. તેથી $f(x) = \frac{x \sqrt{1 - x^2}}{1 + x} = x \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$.$f(x)$ નો વર્ગ કરીને,આપણે $g(x) = x^2 \frac{1 - x}{1 + x} = \frac{x^2 - x^3}{1 + x}$ ને મહત્તમ કરીએ.$g'(x) = 0$ લેતા: $\frac{(2x - 3x^2)(1 + x) - (x^2 - x^3)(1)}{(1 + x)^2} = 0$.$(2x + 2x^2 - 3x^2 - 3x^3) - (x^2 - x^3) = 0 \implies -2x^3 - 2x^2 + 2x = 0$.$-2x(x^2 + x - 1) = 0$. કારણ કે $x = \sin 	heta > 0$,તેથી $x^2 + x - 1 = 0$.$x$ માટે ઉકેલતા,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$. $x > 0$ હોવાથી,$x = \sin 	heta = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

Similar Questions

વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ અને તેના વ્યસ્તનો સરવાળો ન્યૂનતમ કેટલો થાય?

ધારો કે $f(x) = \alpha x^2 - 2 + \frac{1}{x}$,જ્યાં $\alpha$ એ વાસ્તવિક અચળાંક છે. તમામ $x > 0$ માટે $f(x) \geq 0$ થાય તેવી $\alpha$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module