intlimits_0^infty x^{2n + 1} e^{-x^2} dx का म | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int\limits_0^\infty x^{2n+1} e^{-x^2} dx$. $t = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 2x dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{dt}{

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$\frac{n!}{2}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int\limits_0^\infty x^{2n+1} e^{-x^2} dx$. $t = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 2x dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{dt}{2}$. जब $x = 0$,तब $t = 0$,और जब $x 	o \infty$,तब $t 	o \infty$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int\limits_0^\infty (x^2)^n (x dx) e^{-x^2} = \int\limits_0^\infty t^n e^{-t} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int\limits_0^\infty t^n e^{-t} dt$. गामा फलन की परिभाषा के अनुसार,$\Gamma(n+1) = \int\limits_0^\infty t^n e^{-t} dt = n!$. अतः,$I = \frac{1}{2} n! = \frac{n!}{2}$.

$\int\limits_0^\infty x^{2n + 1} e^{-x^2} dx$ का मान $(n \in N)$ के लिए ज्ञात कीजिए।

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