mathop {Lim}limits_{k to 0} frac{1}{k} intlim | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $L = \mathop {Lim}\limits_{k 	o 0} \frac{\int\limits_0^k (1 + \sin 2x)^{\frac{1}{x}} dx}{k}$.આ લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે અ

Vedclass · Accepted Answer

$e^2$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $L = \mathop {Lim}\limits_{k 	o 0} \frac{\int\limits_0^k (1 + \sin 2x)^{\frac{1}{x}} dx}{k}$.આ લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદનું $k$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L$'Hopital નો નિયમ વાપરીએ છીએ.કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય (Leibnitz નો નિયમ) નો ઉપયોગ કરતા,અંશનું વિકલન $(1 + \sin 2k)^{\frac{1}{k}}$ થાય અને છેદનું વિકલન $1$ થાય.તેથી,$L = \mathop {Lim}\limits_{k 	o 0} (1 + \sin 2k)^{\frac{1}{k}}$.આ $1^{\infty}$ સ્વરૂપમાં છે,જેને $e^{\mathop {Lim}\limits_{k 	o 0} \frac{1}{k} \ln(1 + \sin 2k)}$ તરીકે ગણી શકાય.પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {Lim}\limits_{u 	o 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\mathop {Lim}\limits_{k 	o 0} \frac{\ln(1 + \sin 2k)}{k} = \mathop {Lim}\limits_{k 	o 0} \left( \frac{\ln(1 + \sin 2k)}{\sin 2k} \cdot \frac{\sin 2k}{2k} \cdot 2 ight) = 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2$ મળે છે.તેથી,$L = e^2$.

$\mathop {Lim}\limits_{k \to 0} \frac{1}{k} \int\limits_0^k (1 + \sin 2x)^{\frac{1}{x}} dx$

Similar Questions

જો $g(x) = \int_{\sin x}^{\sin(2x)} \sin^{-1}(t) \, dt$ હોય,તો

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left\{\sin ^5\left(\frac{\pi}{6 n}\right)+\sin ^5\left(\frac{2 \pi}{6 n}\right)+\sin ^5\left(\frac{3 \pi}{6 n}\right)+\ldots+\sin ^5\left(\frac{\pi}{2}\right)\right\} = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\int_0^{x^2} \sec^2 t \, dt}{x \sin x} \right)$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi / 2} \sin ^8 x \cos ^2 x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module