int frac{cot^{-1}(e^x)}{e^x} dx का मान ज्ञात | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{\cot^{-1}(e^x)}{e^x} dx$.$e^x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$e^x dx = dt$,जिससे $dx = \frac{dt}{t}$ प्राप्त होता है।अतः $I = \int

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$\frac{1}{2} \ln(e^{2x} + 1) - \frac{\cot^{-1}(e^x)}{e^x} - x + c$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{\cot^{-1}(e^x)}{e^x} dx$.$e^x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$e^x dx = dt$,जिससे $dx = \frac{dt}{t}$ प्राप्त होता है।अतः $I = \int \frac{\cot^{-1}(t)}{t^2} dt$.खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \cot^{-1}(t)$ और $dv = t^{-2} dt$ लेने पर,$du = -\frac{1}{1+t^2} dt$ और $v = -\frac{1}{t}$ प्राप्त होता है।$I = -\frac{\cot^{-1}(t)}{t} - \int \left(-\frac{1}{t}\right) \left(-\frac{1}{1+t^2}\right) dt = -\frac{\cot^{-1}(t)}{t} - \int \frac{1}{t(1+t^2)} dt$.आंशिक भिन्न (Partial fractions) का उपयोग करने पर: $\frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}$.अतः,$\int \frac{1}{t(1+t^2)} dt = \int \frac{1}{t} dt - \int \frac{t}{1+t^2} dt = \ln|t| - \frac{1}{2} \ln(1+t^2)$.अब $I$ में मान रखने पर: $I = -\frac{\cot^{-1}(t)}{t} - (\ln|t| - \frac{1}{2} \ln(1+t^2)) + C = \frac{1}{2} \ln(1+t^2) - \ln|t| - \frac{\cot^{-1}(t)}{t} + C$.चूंकि $t = e^x$,इसलिए $\ln|t| = x$ और $t^2 = e^{2x}$.अतः $I = \frac{1}{2} \ln(1+e^{2x}) - x - \frac{\cot^{-1}(e^x)}{e^x} + C$.

$\int \frac{\cot^{-1}(e^x)}{e^x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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