int_2^5 (sqrt{x+2 sqrt{x-1}} + sqrt{x-2 sqrt{ | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_2^5 (\sqrt{x+2 \sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2 \sqrt{x-1}}) dx$. वर्गमूल के अंदर के पदों को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर: $x + 2\sqrt{x-1

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$28$

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(C) माना $I = \int_2^5 (\sqrt{x+2 \sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2 \sqrt{x-1}}) dx$. वर्गमूल के अंदर के पदों को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर: $x + 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1})^2 + 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1} + 1)^2$. $x - 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1})^2 - 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$. अतः,समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int_2^5 (\sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2}) dx$. चूंकि $x \in [2, 5]$,इसलिए $\sqrt{x-1} \ge 1$,अतः $\sqrt{x-1} - 1 \ge 0$. $I = \int_2^5 (\sqrt{x-1} + 1 + \sqrt{x-1} - 1) dx = \int_2^5 2\sqrt{x-1} dx$. $I = 2 \int_2^5 (x-1)^{1/2} dx = 2 \left[ \frac{(x-1)^{3/2}}{3/2} ight]_2^5 = 2 	imes \frac{2}{3} [(x-1)^{3/2}]_2^5$. $I = \frac{4}{3} [(5-1)^{3/2} - (2-1)^{3/2}] = \frac{4}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}] = \frac{4}{3} [8 - 1] = \frac{4}{3} 	imes 7 = \frac{28}{3}$.

$\int_2^5 (\sqrt{x+2 \sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2 \sqrt{x-1}}) dx = $ ($/3$ में)

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