lim _{n} {rightarrow infty}left[left(1+frac{1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $A = \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\prod_{r=1}^{n} \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેત

Vedclass · Accepted Answer

$2 e^{\frac{\pi-4}{2}}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $A = \lim _{n ightarrow \infty}\left[\prod_{r=1}^{n} \left(1+\frac{r^2}{n^2}ight)ight]^{\frac{1}{n}}$.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:$\log A = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \log \left(1+\frac{r^2}{n^2}ight)$.સરવાળાની મર્યાદા તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}ight) = \int_0^1 f(x) dx$,આપણને મળે છે:$\log A = \int_0^1 \log(1+x^2) dx$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \log(1+x^2)$ અને $dv = dx$ લેતા. તેથી $du = \frac{2x}{1+x^2} dx$ અને $v = x$.$\int_0^1 \log(1+x^2) dx = [x \log(1+x^2)]_0^1 - \int_0^1 \frac{2x^2}{1+x^2} dx$.$= [1 \cdot \log(2) - 0] - 2 \int_0^1 \left(\frac{1+x^2-1}{1+x^2}ight) dx$.$= \log 2 - 2 \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+x^2}ight) dx$.$= \log 2 - 2 [x - 	an^{-1}(x)]_0^1$.$= \log 2 - 2 [(1 - 	an^{-1}(1)) - (0 - 0)]$.$= \log 2 - 2(1 - \frac{\pi}{4}) = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2} = \log 2 + \frac{\pi-4}{2}$.તેથી $A = e^{\log 2 + \frac{\pi-4}{2}} = 2 e^{\frac{\pi-4}{2}}$.

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=$

Similar Questions

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left\{ \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}+\ldots+\sqrt{2n-1}}{n^{3/2}} \right\}$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-2^2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}\right)$ ની કિંમત કેટલી થાય?

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4)^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+8)^{3}}}+\cdots +\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{[n+4(n-1)]^{3}}} \right)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{r^4+n^4}=p$ હોય,તો $e^p=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left[1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module