$(a)$ $10\, cm$ फोकस दूरी वाले उत्तल लेंस के सामने किसी वस्तु को कितनी दूरी पर रखा जाना चाहिए ताकि उसका दोगुने आकार का आभासी प्रतिबिंब प्राप्त हो?
$(b)$ उपरोक्त मामले में,यदि प्रतिबिंब वास्तविक बनता है,तो आवर्धन ज्ञात कीजिए। इसे $v$ और $u$ के बीच संबंध के रूप में व्यक्त कीजिए।

(A) दिया गया है: फोकस दूरी $f = +10\, cm$,आवर्धन $m = +2$ (आभासी प्रतिबिंब के लिए)।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर,हमें $v = mu = 2u$ प्राप्त होता है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{10} = \frac{1}{2u} - \frac{1}{u} = \frac{1-2}{2u} = -\frac{1}{2u}$.
$u$ के लिए हल करने पर: $2u = -10$,इसलिए $u = -5\, cm$।
वस्तु को लेंस के सामने $5\, cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।
$(b)$ यदि प्रतिबिंब वास्तविक बनता है,तो आवर्धन $m$ ऋणात्मक होता है। दोगुने आकार के वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$m = -2$। $v$ और $u$ के बीच का संबंध $m = \frac{v}{u}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $v = mu = -2u$।