$M$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુ $BC$ પરનું એક બિંદુ છે,જેથી $AM$ એ $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક છે. શું એવું કહેવું સત્ય છે કે ત્રિકોણની પરિમિતિ $2\, AM$ કરતા વધારે છે? તમારા જવાબ માટે કારણ આપો.

(A) આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $AB + BC + AC > 2\, AM$.
ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે.
$\triangle ABM$ માં,આપણી પાસે છે:
$AB + BM > AM$ $\ldots (1)$
$\triangle ACM$ માં,આપણી પાસે છે:
$AC + CM > AM$ $\ldots (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$AB + BM + AC + CM > AM + AM$
$AB + AC + (BM + CM) > 2\, AM$
કારણ કે $M$ એ $BC$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $BM + CM = BC$. આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા:
$AB + AC + BC > 2\, AM$
આમ,ત્રિકોણ $ABC$ ની પરિમિતિ ખરેખર $2\, AM$ કરતા વધારે છે.