$(i)$ $f(x)$ सतत है और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ परिभाषित नहीं है और $f'(4) = 0$ है।
$(iii)$ $(-5, 12)$ एक बिंदु है जो $f(x)$ के ग्राफ पर स्थित है।
$(iv)$ $f''(2)$ अपरिभाषित है,लेकिन $f''(x)$ बाकी हर जगह ऋणात्मक है।
$(v)$ $f'(x)$ के चिह्न नीचे दिए गए हैं:
| $x$ | $(-\infty, -5)$ | $-5$ | $(-5, 2)$ | $2$ | $(2, 4)$ | $4$ | $(4, \infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | अपरिभाषित | $+$ | $0$ | $-$ |
$y = f(x)$ का संभावित ग्राफ है:

समीकरण $e^{x-1} + \log x + x - 2 = 0$,जहाँ $x > 0$ है,के वास्तविक मूलों की संख्या क्या है?

$\frac{1}{e^{3x}}(e^x + e^{5x}) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$
$\Rightarrow 2a_1 + 2^3a_3 + 2^5a_5 + \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।

$f(x) = \begin{cases} |x - 3|, & x \ge 1 \\ \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{13}{4}, & x < 1 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित फलन है

मान लीजिए $f:[0,3] \rightarrow R$ को $f(x)=\min \{x-[x], 1+[x]-x\}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $[x]$ वह महत्तम पूर्णांक है जो $x$ से कम या उसके बराबर है। मान लीजिए $P$ उन सभी $x \in[0,3]$ का समुच्चय है जहाँ $f$ असतत है,और $Q$ उन सभी $x \in(0,3)$ का समुच्चय है जहाँ $f$ अवकलनीय नहीं है। तो $P$ और $Q$ में अवयवों की संख्या का योग $......$ है।

मान लीजिए $f_1: R \rightarrow R, f_2:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow R, f_3:\left(-1, e^{\frac{\pi}{2}}-2\right) \rightarrow R$ और $f_4: R \rightarrow R$ निम्नलिखित रूप से परिभाषित फलन हैं:
$(i)$ $f_1(x)=\sin \left(\sqrt{1-e^{-x^2}}\right)$
$(ii)$ $f_2(x)=\begin{cases} \frac{|\sin x|}{\tan^{-1} x} & \text{यदि } x \neq 0 \\ 1 & \text{यदि } x=0 \end{cases}$,जहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\tan^{-1} x$ का मान $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में है।
$(iii)$ $f_3(x)=\left[\sin \left(\log_e(x+2)\right)\right]$,जहाँ,$t \in R$ के लिए,$[t]$ सबसे बड़ा पूर्णांक है जो $t$ से कम या उसके बराबर है।
$(iv)$ $f_4(x)=\begin{cases} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0 & \text{यदि } x=0 \end{cases}$

$LIST-I$	$LIST-II$
$P$. फलन $f_1$ है	$1$. $x=0$ पर सतत $NOT$ है
$Q$. फलन $f_2$ है	$2$. $x=0$ पर सतत है और $x=0$ पर अवकलनीय $NOT$ है
$R$. फलन $f_3$ है	$3$. $x=0$ पर अवकलनीय है और इसका अवकलज $x=0$ पर सतत $NOT$ है
$S$. फलन $f_4$ है	$4$. $x=0$ पर अवकलनीय है और इसका अवकलज $x=0$ पर सतत है

सही विकल्प है: