"कोशिकाएं केवल पूर्व-स्थित कोशिकाओं से उत्पन्न होती हैं" यह सिद्धांत किसने दिया था?

$(a)$ सिद्ध कीजिए कि $10$ के साथ सापेक्ष अभाज्य प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,एक ऐसी प्राकृतिक संख्या $m$ मौजूद है जिसके सभी अंक $1$ हैं और $n$,$m$ को विभाजित करता है।
$(b)$ इसके आधार पर या अन्यथा सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या को कुछ प्राकृतिक संख्याओं $a, b, c$ के लिए $\frac{a}{10^b(10^c-1)}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

यदि समतल $3x - 2y - z - 18 = 0$ निर्देशांक अक्षों को $A$,$B$ और $C$ पर मिलता है,तो $\triangle ABC$ का केंद्रक क्या है?

निकेल का कार्य फलन (work function) $5 \text{ eV}$ है। जब $2000 \text{ \AA}$ तरंगदैर्ध्य का प्रकाश उस पर गिरता है, तो यह फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करता है। उत्सर्जित सबसे तेज़ इलेक्ट्रॉनों को रोकने के लिए आवश्यक विभवांतर (potential difference) क्या है ($\text{ V}$ में)? (दिया गया है $h = 6.67 \times 10^{-34} \text{ J-s}$):

$\mu = \sqrt{3}$ अपवर्तनांक वाले एक क्रिस्टल पर एक अध्रुवित प्रकाश किरण को किस कोण पर आपतित होना चाहिए,ताकि परावर्तित किरण पूर्णतः ध्रुवित हो जाए ($^o$ में)?

यदि $x^y=y^x$ है,तो $x(x-y \log x) \frac{d y}{d x}$ का मान क्या होगा?