कणों के निकाय का कुल संवेग क्या है?

निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$1.$ कणों के एक निकाय का रैखिक संवेग शून्य है।
$2.$ कणों के एक निकाय की गतिज ऊर्जा शून्य है।
तो:

कणों के निकाय की गति का द्रव्यमान केंद्र की गति और द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष गति में पृथक्करण:
$(a)$ सिद्ध कीजिए $p = \sum p_{i}^{\prime} + M V$,जहाँ $p$ निकाय का कुल संवेग है,$p_{i}^{\prime} = m_{i} v_{i}^{\prime}$,और $v_{i}^{\prime}$ द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष $i^{th}$ कण का वेग है। द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $\sum p_{i}^{\prime} = 0$ है।
$(b)$ सिद्ध कीजिए $K = K^{\prime} + \frac{1}{2} M V^{2}$,जहाँ $K$ निकाय की कुल गतिज ऊर्जा है,$K^{\prime}$ द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष निकाय की कुल गतिज ऊर्जा है,और $\frac{1}{2} M V^{2}$ निकाय के स्थानांतरण की गतिज ऊर्जा है।
$(c)$ सिद्ध कीजिए $L = L^{\prime} + R \times M V$,जहाँ $L^{\prime} = \sum r_{i}^{\prime} \times p_{i}^{\prime}$ द्रव्यमान केंद्र के परितः निकाय का कोणीय संवेग है। ध्यान दें $r_{i}^{\prime} = r_{i} - R$ है।
$(d)$ सिद्ध कीजिए $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \sum r_{i}^{\prime} \times \frac{d p_{i}^{\prime}}{d t}$। इसके अतिरिक्त,सिद्ध कीजिए कि $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \tau_{ext}^{\prime}$,जहाँ $\tau_{ext}^{\prime}$ द्रव्यमान केंद्र के परितः निकाय पर कार्य करने वाले सभी बाह्य बलाघूर्णों का योग है।

$N$ कणों का एक निकाय किसी भी बाहरी बल से मुक्त है। निकाय में व्यक्तिगत कणों के संवेग के परिमाणों के योग के लिए निम्नलिखित में से क्या सत्य होना चाहिए?

$L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान की एक समान छड़ को एक चिकनी क्षैतिज सतह पर रखा गया है। $v$ वेग से गति करता हुआ $m$ द्रव्यमान का एक कण छड़ के एक सिरे पर लंबवत टकराता है और विराम अवस्था में आ जाता है। टक्कर के बाद छड़ के द्रव्यमान केंद्र का वेग क्या होगा?

कणों के एक निकाय के लिए निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$A$: निकाय का रैखिक संवेग शून्य है।
$B$: निकाय की गतिज ऊर्जा शून्य है।