सदिशों $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}$ और $\vec{c} + \vec{a}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $4$ है। तब सदिशों $\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}$ और $\vec{c} \times \vec{a}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन क्या होगा?

यदि $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + 3 \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = -\beta \hat{i} - \alpha \hat{j} - \hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$ इस प्रकार हैं कि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1$ और $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = -3$,तो $\frac{1}{3}((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$ का मान ............ है।

यदि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $40 \text{ घन इकाई}$ है,तो $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}, \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन घन इकाई में क्या होगा?

मान लीजिए $\vec{a}$ एक सदिश है जो सदिश $3 \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 2 \hat{k}$ के लंबवत है। यदि $\vec{a} \times (2 \hat{i} + \hat{k}) = 2 \hat{i} - 13 \hat{j} - 4 \hat{k}$ है,तो सदिश $\vec{a}$ का सदिश $2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

स्तंभ $I$ में दिए गए कथनों/व्यंजकों को स्तंभ $II$ में दिए गए मानों के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ समीकरण $2 \sin ^2 \theta + \sin ^2 2 \theta = 2$ के मूल	$(p)$ $\frac{\pi}{6}$
$(B)$ फलन $f(x) = [\frac{6x}{\pi}] \cos [\frac{3x}{\pi}]$ के असातत्य के बिंदु,जहाँ $[y]$ का अर्थ $y$ से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है	$(q)$ $\frac{\pi}{4}$
$(C)$ समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे सदिशों $\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+2\hat{j}$ और $\hat{i}+\hat{j}+\pi\hat{k}$ द्वारा निरूपित हैं	$(r)$ $\frac{\pi}{3}$
$(D)$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण,जहाँ $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ इकाई सदिश हैं जो $\vec{a}+\vec{b}+\sqrt{3}\vec{c}=\overrightarrow{0}$ को संतुष्ट करते हैं	$(s)$ $\frac{\pi}{2}$
	$(t)$ $\pi$

$a, b, c$ तीन शून्येतर,असमतलीय सदिश हैं और $p, q, r$ तीन अन्य सदिश इस प्रकार हैं कि $p = \frac{b \times c}{a \cdot (b \times c)}$,$q = \frac{c \times a}{a \cdot (b \times c)}$,$r = \frac{a \times b}{a \cdot (b \times c)}$. तो $[p, q, r]$ का मान ज्ञात कीजिए।