અનંત ગુણાકાર $\prod\limits_{n = 2}^\infty {\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}$ નું મૂલ્ય શું છે?

શ્રેણી $\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{3{k^2} + 3k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^3}}}} $ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો શ્રેણી $\frac{4(1)}{1+4(1)^4}+\frac{4(2)}{1+4(2)^4}+\frac{4(3)}{1+4(3)^4}+\ldots$ ના પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,તો $m+n$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

જો શ્રેણી $\frac{4.1}{4+3.1^2+1^4}+\frac{4.2}{4+3.2^2+2^4}+\frac{4.3}{4+3.3^2+3^4}+\frac{4.4}{4+3.4^2+4^4}+\ldots$ ના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તો $m + n$ ની કિંમત શોધો :-

જો ${x_1}, {x_2}, {x_3}, \dots, {x_n}$ એ $A.P.$ માં હોય અને તેમનો સામાન્ય તફાવત $\alpha$ હોય,તો $\sin \alpha (\sec {x_1} \sec {x_2} + \sec {x_2} \sec {x_3} + \dots + \sec {x_{n-1}} \sec {x_n}) = $ ની કિંમત શોધો.