$\sum\limits_{r = 1}^{15} {{r^2} \left( \frac{^{15}C_r}{^{15}C_{r - 1}} \right)}$ का मान किसके बराबर है?

एक प्रश्न पत्र में $3$ भाग $A, B, C$ हैं। भाग $A$ में $7$ प्रश्न,भाग $B$ में $5$ प्रश्न और भाग $C$ में $3$ प्रश्न हैं। यदि एक उम्मीदवार को भाग $A$ से $4$ से अधिक नहीं,भाग $B$ से $3$ से अधिक नहीं और भाग $C$ से $2$ से अधिक नहीं प्रश्नों के उत्तर देने की अनुमति है,तो वह उम्मीदवार ठीक $7$ प्रश्नों के उत्तर कितने तरीकों से दे सकता है?

एक प्रश्न पत्र दो भागों $A$ और $B$ में विभाजित है और प्रत्येक भाग में $5$ प्रश्न हैं। एक उम्मीदवार प्रत्येक भाग से कम से कम दो प्रश्न चुनकर कुल $6$ प्रश्नों के उत्तर कितने तरीकों से दे सकता है?

$1000$ और $3000$ के बीच ऐसी संख्याएँ बनानी हैं,जो $4$ से विभाज्य हों,जिसमें अंकों $1, 2, 3, 4, 5$ और $6$ का उपयोग बिना दोहराव के किया गया हो। तो ऐसी कुल संख्याएँ कितनी हैं?

यदि $8 \cdot {}^{7}P_{r} = 7 \cdot {}^{8}P_{r-1}$ है,तो $r$ का मान क्या है?

$\sum_{r=0}^{20} {}^{50-r}C_{6}$ का मान किसके बराबर है?