lim_{n to infty} left[ frac{1}{n}sin left( fr | vedclass

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Question

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\lim_{n 	o \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n} f\left(\frac{r}{n}ight)$ के रूप में एक रीमान योग है,जहाँ $f(x) = \sin x \cos^2

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{3}(1 - \cos^3 1)$

Vedclass · Answer

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\lim_{n 	o \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n} f\left(\frac{r}{n}ight)$ के रूप में एक रीमान योग है,जहाँ $f(x) = \sin x \cos^2 x$ है।यह सीमा निश्चित समाकलन $\int_{0}^{1} \sin x \cos^2 x \, dx$ के बराबर है।माना $t = \cos x$,तो $dt = -\sin x \, dx$,या $\sin x \, dx = -dt$ होगा।जब $x = 0$,तो $t = \cos 0 = 1$। जब $x = 1$,तो $t = \cos 1$ होगा।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$\int_{1}^{\cos 1} t^2 (-dt) = \int_{\cos 1}^{1} t^2 \, dt$ प्राप्त होता है।समाकलन का मूल्यांकन करने पर:$\left[ \frac{t^3}{3} ight]_{\cos 1}^{1} = \frac{1}{3} (1^3 - \cos^3 1) = \frac{1}{3}(1 - \cos^3 1)$ प्राप्त होता है।

$\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n}\sin \left( \frac{1}{n} \right)\left( \cos \left( \frac{1}{n} \right) \right)^2 + \frac{1}{n}\sin \left( \frac{2}{n} \right)\left( \cos \left( \frac{2}{n} \right) \right)^2 + \dots + \frac{1}{n}(\sin 1)(\cos 1)^2 \right]$ का मान क्या है?

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$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^2}}}\left[ {1\cos \frac{1}{{{n^2}}} + 2\cos \frac{4}{{{n^2}}} + 3\cos \frac{9}{{{n^2}}} + .... + 2n\cos 4} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \left(\frac{(2 n)!}{n^n \cdot n!}\right)=\int_1^2 f(x) d x$ है,तो $f(x)=$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1^2}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=$

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \frac{\pi }{2n} \left( 1 + \cos \frac{\pi }{2n} + \cos \frac{2\pi }{2n} + \dots + \cos \frac{(n - 1)\pi }{2n} \right)$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{1} + 2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3} + \ldots + n \sqrt{n}}{n^{5/2}} \right) = $

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