समाकलन int {x,{{cos }^{ - 1}},left( {frac{{1 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int x \cos^{-1} \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} ight) dx$.चूंकि $x > 0$,हम $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $

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$- x + ( 1 + x^2)\, 	an^{-1} \,x + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int x \cos^{-1} \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} ight) dx$.चूंकि $x > 0$,हम $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $	heta = 	an^{-1} x$.तब $\cos^{-1} \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} ight) = \cos^{-1} (\cos 2	heta) = 2	heta = 2	an^{-1} x$.अतः,$I = \int x (2	an^{-1} x) dx = 2 \int x 	an^{-1} x dx$.खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = 	an^{-1} x$ और $dv = x dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{1+x^2} dx$ और $v = \frac{x^2}{2}$ प्राप्त होता है।$I = 2 \left[ \frac{x^2}{2} 	an^{-1} x - \int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx ight] + c$.$I = x^2 	an^{-1} x - \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx + c$.$I = x^2 	an^{-1} x - \int \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} ight) dx + c$.$I = x^2 	an^{-1} x - x + 	an^{-1} x + c$.$I = (x^2 + 1) 	an^{-1} x - x + c$.

समाकलन $\int {x\,{{\cos }^{ - 1}}\,\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)dx} \,\left( {x > 0} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int {32{x^3}{{(\log x)}^2}dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \log x^2 \, dx =$ . . . . . . $+ C$.

$\int \log (2+x)^{2+x} \, dx =$

$\int x{e^x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $I = \int e^x \sin 2x \, dx$ है,तो $K$ के किस मान के लिए $KI = e^x(\sin 2x - 2\cos 2x) + C$ होगा?

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