कणों के निकाय की गति का द्रव्यमान केंद्र की गति और द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष गति में पृथक्करण:
$(a)$ सिद्ध कीजिए $p = \sum p_{i}^{\prime} + M V$,जहाँ $p$ निकाय का कुल संवेग है,$p_{i}^{\prime} = m_{i} v_{i}^{\prime}$,और $v_{i}^{\prime}$ द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष $i^{th}$ कण का वेग है। द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $\sum p_{i}^{\prime} = 0$ है।
$(b)$ सिद्ध कीजिए $K = K^{\prime} + \frac{1}{2} M V^{2}$,जहाँ $K$ निकाय की कुल गतिज ऊर्जा है,$K^{\prime}$ द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष निकाय की कुल गतिज ऊर्जा है,और $\frac{1}{2} M V^{2}$ निकाय के स्थानांतरण की गतिज ऊर्जा है।
$(c)$ सिद्ध कीजिए $L = L^{\prime} + R \times M V$,जहाँ $L^{\prime} = \sum r_{i}^{\prime} \times p_{i}^{\prime}$ द्रव्यमान केंद्र के परितः निकाय का कोणीय संवेग है। ध्यान दें $r_{i}^{\prime} = r_{i} - R$ है।
$(d)$ सिद्ध कीजिए $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \sum r_{i}^{\prime} \times \frac{d p_{i}^{\prime}}{d t}$। इसके अतिरिक्त,सिद्ध कीजिए कि $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \tau_{ext}^{\prime}$,जहाँ $\tau_{ext}^{\prime}$ द्रव्यमान केंद्र के परितः निकाय पर कार्य करने वाले सभी बाह्य बलाघूर्णों का योग है।

(A) मान लीजिए $m_{i}$ द्रव्यमान है और $v_{i}$ $i^{th}$ कण का वेग है। द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष वेग $v_{i}^{\prime} = v_{i} - V$ है,अतः $v_{i} = v_{i}^{\prime} + V$। कुल संवेग $p = \sum m_{i} v_{i} = \sum m_{i}(v_{i}^{\prime} + V) = \sum m_{i} v_{i}^{\prime} + V \sum m_{i} = \sum p_{i}^{\prime} + MV$। चूंकि $\sum m_{i} r_{i}^{\prime} = 0$,अवकलन करने पर $\sum m_{i} v_{i}^{\prime} = \sum p_{i}^{\prime} = 0$ प्राप्त होता है।
$(b)$ $K = \sum \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} = \sum \frac{1}{2} m_{i} (v_{i}^{\prime} + V) \cdot (v_{i}^{\prime} + V) = \sum \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{\prime 2} + \sum m_{i} v_{i}^{\prime} \cdot V + \sum \frac{1}{2} m_{i} V^{2} = K^{\prime} + V \cdot (\sum p_{i}^{\prime}) + \frac{1}{2} M V^{2}$। चूंकि $\sum p_{i}^{\prime} = 0$,इसलिए $K = K^{\prime} + \frac{1}{2} M V^{2}$।
$(c)$ $L = \sum r_{i} \times p_{i} = \sum (R + r_{i}^{\prime}) \times m_{i} (V + v_{i}^{\prime}) = \sum (R \times m_{i} V + R \times m_{i} v_{i}^{\prime} + r_{i}^{\prime} \times m_{i} V + r_{i}^{\prime} \times m_{i} v_{i}^{\prime}) = R \times MV + R \times (\sum p_{i}^{\prime}) + (\sum m_{i} r_{i}^{\prime}) \times V + L^{\prime}$। चूंकि $\sum p_{i}^{\prime} = 0$ और $\sum m_{i} r_{i}^{\prime} = 0$,इसलिए $L = L^{\prime} + R \times MV$।
$(d)$ $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \frac{d}{d t} \sum (r_{i}^{\prime} \times p_{i}^{\prime}) = \sum (v_{i}^{\prime} \times p_{i}^{\prime}) + \sum (r_{i}^{\prime} \times \frac{d p_{i}^{\prime}}{d t})$। चूंकि $v_{i}^{\prime} \times (m_{i} v_{i}^{\prime}) = 0$,इसलिए $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \sum r_{i}^{\prime} \times F_{i}^{\prime} = \tau_{ext}^{\prime}$।