કણોની સિસ્ટમની ગતિનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ ગતિમાં વિભાજન:
$(a)$ સાબિત કરો કે $p = \sum p_{i}^{\prime} + M V$,જ્યાં $p$ એ સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન છે,$p_{i}^{\prime} = m_{i} v_{i}^{\prime}$,અને $v_{i}^{\prime}$ એ $i^{th}$ કણનો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ વેગ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $\sum p_{i}^{\prime} = 0$.
$(b)$ સાબિત કરો કે $K = K^{\prime} + \frac{1}{2} M V^{2}$,જ્યાં $K$ એ સિસ્ટમની કુલ ગતિઊર્જા છે,$K^{\prime}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ સિસ્ટમની કુલ ગતિઊર્જા છે,અને $\frac{1}{2} M V^{2}$ એ સમગ્ર સિસ્ટમના સ્થાનાંતરની ગતિઊર્જા છે.
$(c)$ સાબિત કરો કે $L = L^{\prime} + R \times M V$,જ્યાં $L^{\prime} = \sum r_{i}^{\prime} \times p_{i}^{\prime}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ સિસ્ટમનું કોણીય વેગમાન છે. નોંધો કે $r_{i}^{\prime} = r_{i} - R$.
$(d)$ સાબિત કરો કે $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \sum r_{i}^{\prime} \times \frac{d p_{i}^{\prime}}{d t}$. વધુમાં,સાબિત કરો કે $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \tau_{ext}^{\prime}$,જ્યાં $\tau_{ext}^{\prime}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ સિસ્ટમ પર લાગતા તમામ બાહ્ય ટોર્કનો સરવાળો છે.

(A) ધારો કે $m_{i}$ એ દળ છે અને $v_{i}$ એ $i^{th}$ કણનો વેગ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ વેગ $v_{i}^{\prime} = v_{i} - V$ છે,તેથી $v_{i} = v_{i}^{\prime} + V$. કુલ વેગમાન $p = \sum m_{i} v_{i} = \sum m_{i}(v_{i}^{\prime} + V) = \sum m_{i} v_{i}^{\prime} + V \sum m_{i} = \sum p_{i}^{\prime} + MV$. કારણ કે $\sum m_{i} r_{i}^{\prime} = 0$,વિકલન કરતા $\sum m_{i} v_{i}^{\prime} = \sum p_{i}^{\prime} = 0$ મળે છે.
$(b)$ $K = \sum \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} = \sum \frac{1}{2} m_{i} (v_{i}^{\prime} + V) \cdot (v_{i}^{\prime} + V) = \sum \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{\prime 2} + \sum m_{i} v_{i}^{\prime} \cdot V + \sum \frac{1}{2} m_{i} V^{2} = K^{\prime} + V \cdot (\sum p_{i}^{\prime}) + \frac{1}{2} M V^{2}$. કારણ કે $\sum p_{i}^{\prime} = 0$,તેથી $K = K^{\prime} + \frac{1}{2} M V^{2}$.
$(c)$ $L = \sum r_{i} \times p_{i} = \sum (R + r_{i}^{\prime}) \times m_{i} (V + v_{i}^{\prime}) = \sum (R \times m_{i} V + R \times m_{i} v_{i}^{\prime} + r_{i}^{\prime} \times m_{i} V + r_{i}^{\prime} \times m_{i} v_{i}^{\prime}) = R \times MV + R \times (\sum p_{i}^{\prime}) + (\sum m_{i} r_{i}^{\prime}) \times V + L^{\prime}$. કારણ કે $\sum p_{i}^{\prime} = 0$ અને $\sum m_{i} r_{i}^{\prime} = 0$,તેથી $L = L^{\prime} + R \times MV$.
$(d)$ $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \frac{d}{d t} \sum (r_{i}^{\prime} \times p_{i}^{\prime}) = \sum (v_{i}^{\prime} \times p_{i}^{\prime}) + \sum (r_{i}^{\prime} \times \frac{d p_{i}^{\prime}}{d t})$. કારણ કે $v_{i}^{\prime} \times (m_{i} v_{i}^{\prime}) = 0$,તેથી $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \sum r_{i}^{\prime} \times F_{i}^{\prime} = \tau_{ext}^{\prime}$.