ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $4^{n}-1$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

ધારો કે $P(n): 4^{n}-1$ એ દરેક $n \in \mathbb{N}$ માટે $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે,$P(1) = 4^{1}-1 = 3$,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ $k \in \mathbb{N}$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $4^{k}-1 = 3m$ કોઈ પૂર્ણાંક $m \in \mathbb{N}$ માટે. આ સૂચવે છે કે $4^{k} = 3m+1$ $(i)$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $4^{k+1}-1$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
$4^{k+1}-1 = 4 \cdot 4^{k}-1$ લો.
$(i)$ પરથી કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $4(3m+1)-1 = 12m+4-1 = 12m+3 = 3(4m+1)$.
કારણ કે $3(4m+1)$ એ $3$ નો ગુણક છે,તેથી $4^{k+1}-1$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
નિષ્કર્ષ: ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ દરેક $n \in \mathbb{N}$ માટે સત્ય છે.