मान लीजिए कि intlimits_0^1 {{{tan }^{ - 1}}le | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $I = \int_{0}^{1} 	an^{-1}\left(\frac{	an x - 2\cot x}{3}ight) dx$ है। सर्वसमिका $	an^{-1} A - 	an^{-1} B = 	an^{-1}\left(\frac{A

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$\alpha - \frac{\pi }{2} + \frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(D) मान लीजिए $I = \int_{0}^{1} 	an^{-1}\left(\frac{	an x - 2\cot x}{3}ight) dx$ है। सर्वसमिका $	an^{-1} A - 	an^{-1} B = 	an^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}ight)$ का उपयोग करते हुए,हम समाकल्य को पुनः लिख सकते हैं। यहाँ $\frac{	an x - 2\cot x}{3} = \frac{	an x - 2/	an x}{1 + (	an x)(2/	an x)} = \frac{	an x - 2/	an x}{1 + 2}$ है। अतः,$	an^{-1}\left(\frac{	an x - 2\cot x}{3}ight) = 	an^{-1}(	an x) - 	an^{-1}(2\cot x) = x - 	an^{-1}(2\cot x)$। एक सरल तरीका यह है कि $	an^{-1}(\frac{	an x}{2}) - 	an^{-1}(\cot x) = 	an^{-1}\left(\frac{\frac{	an x}{2} - \cot x}{1 + \frac{	an x}{2} \cot x}ight) = 	an^{-1}\left(\frac{	an x - 2\cot x}{3}ight)$ का उपयोग करें। इसलिए,समाकलन $\int_{0}^{1} 	an^{-1}\left(\frac{	an x}{2}ight) dx - \int_{0}^{1} 	an^{-1}(\cot x) dx$ होगा। दिया गया है कि $\int_{0}^{1} 	an^{-1}\left(\frac{	an x}{2}ight) dx = \alpha$,अतः $I = \alpha - \int_{0}^{1} (\frac{\pi}{2} - x) dx$। $I = \alpha - [\frac{\pi}{2}x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{1} = \alpha - (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}) = \alpha - \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}$।

मान लीजिए कि $\int\limits_0^1 {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{\tan x}}{2}} \right)} dx = \alpha $ है,तो $\int\limits_0^1 {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{\tan x - 2\cot x}}{3}} \right)} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int_{0}^{2}(\sqrt{2x}-\sqrt{2x-x^{2}}) dx = \int_{0}^{1}(1-\sqrt{1-y^{2}}-\frac{y^{2}}{2}) dy + \int_{1}^{2}(2-\frac{y^{2}}{2}) dy + I$ है,तो $I = \dots$

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