मान लीजिए f(x) = intlimits_0^x {{e^{ - {t^2}} | vedclass

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Question

(D) फलन $g(t) = e^{-t^2}$ पर विचार करें। $t \in (0, x)$ के लिए,फलन $g(t)$ निरंतर ह्रासमान है क्योंकि $t > 0$ के लिए $g'(t) = -2t e^{-t^2} < 0$ है।चूंक

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$f(x) > \frac{x}{2}\left( {1 + {e^{ - {x^2}}}} \right)$

Vedclass · Answer

(D) फलन $g(t) = e^{-t^2}$ पर विचार करें। $t \in (0, x)$ के लिए,फलन $g(t)$ निरंतर ह्रासमान है क्योंकि $t > 0$ के लिए $g'(t) = -2t e^{-t^2} चूंकि $g(t)$ अंतराल $(0, x)$ पर एक निरंतर ह्रासमान अवतल फलन है,इसलिए $0$ से $x$ तक वक्र $y = e^{-t^2}$ के नीचे का क्षेत्रफल बिंदुओं $(0, 0), (x, 0), (x, e^{-x^2}),$ और $(0, 1)$ द्वारा निर्मित समलंब (trapezoid) के क्षेत्रफल से अधिक है।इस समलंब का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} 	imes (	ext{समांतर भुजाओं का योग}) 	imes (	ext{ऊंचाई}) = \frac{1}{2} (1 + e^{-x^2}) 	imes x$ द्वारा दिया जाता है।इसलिए,$f(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt > \frac{x}{2} (1 + e^{-x^2})$.

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^x {{e^{ - {t^2}}}dt} $ सभी $x > 0$ के लिए है। तो सभी $x > 0$ के लिए:

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$\int_{-\pi}^{\pi} (\cos px - \sin qx)^2 dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं)।

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है जो $x$ से बड़ा नहीं है,तो $\int_{0}^{11} [x] dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^1 (0.001)^{\frac{x}{3}} e^x \, dx =$

समाकलन $\int_{\pi / 6}^{\pi / 2} \left( \frac{1+\sin 2x+\cos 2x}{\sin x+\cos x} \right) dx$ का मान किसके बराबर है?

$\int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \tan ^{3} x \cdot \sin ^{2} 3 x\left(2 \sec ^{2} x \cdot \sin ^{2} 3 x+3 \tan x \cdot \sin 6 x\right) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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