જો સમીકરણોની સંહતિ $2x + 3y - z = 5$,$x + \alpha y + 3z = -4$,અને $3x - y + \beta z = 7$ ને અનંત ઉકેલો હોય,તો $13\alpha\beta$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $k_1$ અને $k_2$ એ $k$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો છે જેના માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ $x + ky = 1$,$kx + y = 2$,અને $x + y = k$ સુસંગત છે. તો $k_1^2 + k_2^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}$. ધારો કે $S = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2 \mid A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \right\}$. $S$ ની કાર્ડિનાલિટી (સભ્ય સંખ્યા) શું છે?

જો સમીકરણોની સંહતિ $kx + 2y - z = 2, (k - 1)x + ky + z = 1, x + (k - 1)y + kz = 3$ ને માત્ર એક જ ઉકેલ હોય,તો $k$ ની શક્ય વાસ્તવિક કિંમત(ઓ)ની સંખ્યા કેટલી છે?

શ્રેણિક $X$ શોધો જેથી $X \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$ થાય.

જો ${x^a}{y^b} = {e^m}$,${x^c}{y^d} = {e^n}$,${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} m & b \\ n & d \end{array}} \right|$,${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & m \\ c & n \end{array}} \right|$,અને ${\Delta _3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b \\ c & d \end{array}} \right|$ હોય,તો $x$ અને $y$ ની કિંમતો અનુક્રમે શું થાય?