सदिशों 2i + j + k और i - j + k के समतल में स् | vedclass

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Question

(B) माना अभीष्ट इकाई सदिश $\hat{a}$ है। चूँकि $\hat{a}$,$\vec{u} = 2i + j + k$ और $\vec{v} = i - j + k$ के समतल में स्थित है,इसे $\hat{a} = \alpha(2i

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$\frac{3j - k}{\sqrt{10}}$

Vedclass · Answer

(B) माना अभीष्ट इकाई सदिश $\hat{a}$ है। चूँकि $\hat{a}$,$\vec{u} = 2i + j + k$ और $\vec{v} = i - j + k$ के समतल में स्थित है,इसे $\hat{a} = \alpha(2i + j + k) + \beta(i - j + k)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।सरल करने पर,हमें $\hat{a} = (2\alpha + \beta)i + (\alpha - \beta)j + (\alpha + \beta)k$ प्राप्त होता है।चूँकि $\hat{a}$ एक इकाई सदिश है,इसका परिमाण $1$ है,इसलिए $(2\alpha + \beta)^2 + (\alpha - \beta)^2 + (\alpha + \beta)^2 = 1$ है।इसका विस्तार करने पर,हमें $6\alpha^2 + 4\alpha\beta + 3\beta^2 = 1$ ... $(i)$ प्राप्त होता है।चूँकि $\hat{a}$,$\vec{w} = 5i + 2j + 6k$ के लंबवत है,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $5(2\alpha + \beta) + 2(\alpha - \beta) + 6(\alpha + \beta) = 0$।यह $18\alpha + 9\beta = 0$ में सरल हो जाता है,जिससे $\beta = -2\alpha$ प्राप्त होता है।$\beta = -2\alpha$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$6\alpha^2 + 4\alpha(-2\alpha) + 3(-2\alpha)^2 = 1$ प्राप्त होता है।$6\alpha^2 - 8\alpha^2 + 12\alpha^2 = 1$,जिसका अर्थ है $10\alpha^2 = 1$,अतः $\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$।तब $\beta = -2(\pm \frac{1}{\sqrt{10}}) = \mp \frac{2}{\sqrt{10}}$।इन मानों को $\hat{a}$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $\hat{a} = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} [ (2 - 2)i + (1 + 2)j + (1 - 2)k ] = \pm \frac{3j - k}{\sqrt{10}}$ प्राप्त होता है।

सदिशों $2i + j + k$ और $i - j + k$ के समतल में स्थित और $5i + 2j + 6k$ के लंबवत एक इकाई सदिश है

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यदि $\vec{a}=\frac{3}{2} \hat{k}$ और $\vec{b}=\frac{2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}}{2}$ है,तो $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए: ($^{\circ}$ में)

यदि सदिश $a=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,$b=2 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}$ और $c=\lambda \hat{i}+\hat{j}+\mu \hat{k}$ परस्पर लंबवत हैं,तो $(\lambda, \mu)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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