एक बंदूक $v_0$ की अधिकतम गति से गोले दाग सकती है और प्राप्त की जा सकने वाली अधिकतम क्षैतिज परास $R = \frac{v_0^2}{g}$ है। यदि उसी बंदूक से $R$ से $\Delta x$ अधिक दूरी पर स्थित लक्ष्य को भेदना हो,तो सिद्ध कीजिए कि इसे बंदूक को कम से कम $h = \Delta x \left[ 1 + \frac{\Delta x}{R} \right]$ की ऊँचाई पर उठाकर प्राप्त किया जा सकता है।

(A) $h$ ऊँचाई से $v_0$ गति और क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित प्रक्षेप्य का प्रक्षेप पथ निम्न है:
$y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2 \theta}$
माना लक्ष्य क्षैतिज दूरी $x = R + \Delta x$ और ऊर्ध्वाधर स्थिति $y = -h$ पर है (प्रक्षेपण बिंदु को मूल बिंदु मानते हुए)।
$-h = (R + \Delta x) \tan \theta - \frac{g(R + \Delta x)^2}{2v_0^2 \cos^2 \theta}$
चूँकि $R = \frac{v_0^2}{g}$,इसलिए $\frac{g}{v_0^2} = \frac{1}{R}$। यह मान रखने पर:
$-h = (R + \Delta x) \tan \theta - \frac{(R + \Delta x)^2}{2R \cos^2 \theta}$
$-h = (R + \Delta x) \tan \theta - \frac{(R + \Delta x)^2}{2R} (1 + \tan^2 \theta)$
$\tan \theta$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{(R + \Delta x)^2}{2R} \tan^2 \theta - (R + \Delta x) \tan \theta + \left[ \frac{(R + \Delta x)^2}{2R} - h \right] = 0$
$\tan \theta$ के वास्तविक हल के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए:
$D = (R + \Delta x)^2 - 4 \left[ \frac{(R + \Delta x)^2}{2R} \right] \left[ \frac{(R + \Delta x)^2}{2R} - h \right] \ge 0$
$(R + \Delta x)^2 - \frac{(R + \Delta x)^4}{R^2} + \frac{2h(R + \Delta x)^2}{R} \ge 0$
$(R + \Delta x)^2$ से विभाजित करने पर:
$1 - \frac{(R + \Delta x)^2}{R^2} + \frac{2h}{R} \ge 0$
$\frac{2h}{R} \ge \frac{(R + \Delta x)^2 - R^2}{R^2} = \frac{2R\Delta x + \Delta x^2}{R^2}$
$h \ge \Delta x \left[ 1 + \frac{\Delta x}{2R} \right]$