यदि रेखाओं frac{x - 1}{alpha} = frac{y + 1}{- | vedclass

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Question

(C) दूसरी रेखा दो समतलों के प्रतिच्छेदन द्वारा दी गई है: $x + y + z + 1 = 0$ और $2x - y + z + 3 = 0$। प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतलों के परिवार

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$\frac{32}{19}$

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(C) दूसरी रेखा दो समतलों के प्रतिच्छेदन द्वारा दी गई है: $x + y + z + 1 = 0$ और $2x - y + z + 3 = 0$। प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(x + y + z + 1) + \lambda(2x - y + z + 3) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $(1 + 2\lambda)x + (1 - \lambda)y + (1 + \lambda)z + (1 + 3\lambda) = 0$ प्राप्त होता है। पहली रेखा का दिशा सदिश $\vec{v_1} = (\alpha, -1, 1)$ है। समतल का अभिलंब $\vec{n} = (1 + 2\lambda, 1 - \lambda, 1 + \lambda)$ है। चूंकि रेखा समतल के समानांतर है,$\vec{v_1} \cdot \vec{n} = 0$,इसलिए $\alpha(1 + 2\lambda) - (1 - \lambda) + (1 + \lambda) = 0$,जिससे $\alpha(1 + 2\lambda) + 2\lambda = 0$,या $\alpha = -\frac{2\lambda}{1 + 2\lambda}$ प्राप्त होता है। रेखा और समतल के बीच की न्यूनतम दूरी रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु (जैसे $(1, -1, 0)$) से समतल की लंबवत दूरी है: $d = \frac{|(1 + 2\lambda)(1) + (1 - \lambda)(-1) + (1 + \lambda)(0) + (1 + 3\lambda)|}{\sqrt{(1 + 2\lambda)^2 + (1 - \lambda)^2 + (1 + \lambda)^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$। अंश का सरलीकरण: $|1 + 2\lambda - 1 + \lambda + 1 + 3\lambda| = |6\lambda + 1|$। हर का सरलीकरण: $\sqrt{1 + 4\lambda + 4\lambda^2 + 1 - 2\lambda + \lambda^2 + 1 + 2\lambda + \lambda^2} = \sqrt{6\lambda^2 + 4\lambda + 3}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{(6\lambda + 1)^2}{6\lambda^2 + 4\lambda + 3} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3(36\lambda^2 + 12\lambda + 1) = 6\lambda^2 + 4\lambda + 3$। $108\lambda^2 + 36\lambda + 3 = 6\lambda^2 + 4\lambda + 3 \Rightarrow 102\lambda^2 + 32\lambda = 0$। इस प्रकार,$\lambda = 0$ या $\lambda = -\frac{32}{102} = -\frac{16}{51}$। यदि $\lambda = 0$ है,तो $\alpha = 0$। यदि $\lambda = -\frac{16}{51}$ है,तो $\alpha = -\frac{2(-16/51)}{1 + 2(-16/51)} = \frac{32/51}{(51 - 32)/51} = \frac{32}{19}$।

यदि रेखाओं $\frac{x - 1}{\alpha} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{1}, (\alpha \ne -1)$ और $x + y + z + 1 = 0 = 2x - y + z + 3$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है,तो $\alpha$ का मान है

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